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By Bartel L. van der Waerden

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Ein Linksideal 2 heiBt modular, wenn es ein Element c von 0 gibt mit der Eigenschaft (1) a c == a ( 2) fiir alle a EO. Das Element c spielt gewissermaBen die Rolle eines Rechts-Einselementes mod 2. Das Wort modular kommt von "module", einem alten Wort fiir Einselement. Wir definieren nun das grope Radikal oder kurz das Radikal ffi des Ringes 0 als den Durchschnitt aller modularen, maximalen Linksideale 2. Wenn es auBer 0 selbst keine modularen, maximalen Linksideale gibt, so ist das Radikal der ganze Ring und dieser heiBt ein Radikalring.

Beweis. Es sei am = bn = {O}. Rechnet man das Ideal (a, b)m+n-l aus, so erhalt man eine Summe von Produkten von je m + n - 1 Faktoren a oder b. In einem solchen Produkt tritt der Faktor a mindestens m-mal oder b mindestens n-mal auf. 1st etwa das erstere Algebren 54 der Fall, so hat das Produkt die Form ... a ... a ... a ... mit mindestens m Faktoren a. Da nun ... a ... a··· a··· ~ 0a ~ am ... = a ist, so folgt {O}. Somit sind aIle Produkte {O} und man erhalt (a, b)m+n-l = {O}. Lemma 2. J eMS nilpotente Linksideal (oder Reehtsideal) ist in einem nilpotenten zweiseitigen Ideal enthalten.

Fur S = 1 ist diese Bedingung von selbst erfiillt. Fur S es ein {J so, daB {Js {J ist, also folgt 'Ys = O. Somit ist '*' c = UE'YE ein Element von E. nkte Produkte 47 Daraus folgt: E ist ein maximaler kommutativer Unterring der Algebra ~. Wir bestimmen nun das Zentrum des Ringes ~, d. h. die Menge der Elemente c von ~, die mit allen Elementen von ~ vertauschbar sind: ac = ca fiir aIle a. 1st c ein Zentrumselement, so ist c zunachst mit allen Elementen von E vertauschbar, also in 1: enthalten. Man kann daher c = 'Y setzen.

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